置顶

复数相关

形式转换

$$\begin{array}{c} z=a+bj\\ z=r(\cos\theta+j\sin\theta)\\ z=re^{j\theta} \end{array}$$

其中

$$\begin{array}{c} a=r\cos\theta,\ b=r\sin\theta\\ r=|a^2+b^2|,\ \theta=\arctan\frac{b}{a}\\ \end{array}$$

一些性质

$$\begin{array}{c} e^{j\omega}+e^{-j\omega}=2\cos\omega,\ e^{j\omega}-e^{-j\omega}=2j\sin\omega \end{array}$$

转换为幅度相位形式

$$\begin{array}{c} e^{-j\omega_1}+e^{-j\omega_2}=2\cos\frac{\omega_2-\omega_1}{2}e^{-j\frac{\omega_1+\omega_2}{2}}\\ e^{-j\omega_1}-e^{-j\omega_2}=2j\sin\frac{\omega_2-\omega_1}{2}e^{-j\frac{\omega_1+\omega_2}{2}} \end{array}$$

第一章 离散时间信号和系统基础

信号的表示

离散时间信号在数学上表示成数的序列。序列 $x$ 记作

$$x=\{x[n]\},\quad-\infty<n<+\infty$$

其中 $n$ 是整数，$x[n]$ 是序列的第 $n$ 个数，也称为序列的第 $n$ 个样本。为了方便，$x[n]$ 往往就表示整个序列。

• 当 $n$ 不为整数时，$x[n]$ 的取值不是零，而是无定义。
• 序列的能量定义成 $$E=\sum_{n=-\infty}^{\infty}|x[n]|^{2}=\sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n] x^{*}[n]$$ 其中 $x^{*}[n]=\operatorname{Re}{x[n]}-\operatorname{jIm}{x[n]}$，称为 $x[n]$ 的共轭。

信号的分类

序列一般按长度分成如下几类：

• 有限长序列： $x[n]$ 的样本值在有限长区间 $N_{1} \leqslant n \leqslant N_{2}$ 之内不全为零，其他区间全为零，其中 $N_{1}$ 和 $N_{2}$ 是有限整数。
• 右边序列： $x[n]$ 的样本值在区间 $n \geqslant N_{1}$ 之内不全为零，在 $n<N_{1}$ 区间全为零。
• 左边序列： $x[n]$ 的样本值在区间 $n \leqslant N_{2}$ 之内不全为零，在 $n>N_{2}$ 区间全为零。
• 双边序列： $x[n]$ 的样本值在整个 $-\infty \leqslant n \leqslant \infty$ 区间都不全为零，可以看成是由一个右边序列加一个左边序列得到的。
• 对于在区间 $n <0$ 取值全为零的序列，我们称之为因果序列，它可以是右边序列或有限长序列。反之，凡是在 $n<0$ 存在非零值的序列，就不是因果序列。
• 将序列样本值不全为零的区间简称为序列的非零区间。

信号的基本运算

• 移位 $y[n]=x\left[n-n_{0}\right]$
• 反转 $y[n]=x[-n]$
• 标加 $y[n]=a+x[n]$
• 矢加 $y[n]=x[n]+h[n]$
• 标乘 $y[n]=a \cdot x[n]$
• 矢乘 $y[n]=x[n] \cdot h[n]$

卷积

$$y[n]=x[n] * h[n]=\sum_{k=-\infty}^{\infty} x[k] h[n-k]$$

• 满足交换律
  即 $$\begin{aligned} x[n] * h[n] & =h[n] * x[n] \\ \sum_{k=-\infty}^{\infty} x[k] h[n-k] & =\sum_{k=-\infty}^{\infty} x[n-k] h[k] \end{aligned}$$
• 满足分配律 $$x[n] *\left(h_{1}[n]+h_{2}[n]\right)=x[n] * h_{1}[n]+x[n] * h_{2}[n]$$
• 满足结合律 $$\left(x[n] * h_{1}[n]\right) * h_{2}[n]=x[n] *\left(h_{1}[n] * h_{2}[n]\right)$$
• 如果 $x[n]$ 的非零区间是 $N_{0} \leqslant n \leqslant N_{1}$，长度为 $L_{0}$，$h[n]$ 的非零区间是 $N_{2} \leqslant n \leqslant N_{3}$，长度为 $L_{1}$，则 $x[n] * h[n]$ 的非零区间是 $N_{0}+N_{2} \leqslant n \leqslant N_{1}+N_{3}$，长度为 $L_{0}+L_{1}-1$。

相关

两个序列的互相关运算定义成

$$r_{x h}[n]=\sum_{k=-\infty}^{\infty} x^{*}[k] h[k+n]$$

容易证明互相关与卷积有如下关系

$$r_{x h}[n]=x^{*}[-n] * h[n]$$

需要注意的是互相关不满足交换律。
一个序列的自相关运算定义成

$$r_{x x}[n]=\sum_{k=-\infty}^{\infty} x^{*}[k] x[k+n]$$

基本序列

单位样本序列

$$\delta[n]=\left\{\begin{array}{ll} 1, & n=0 \\ 0, & n \neq 0 \end{array}\right.$$

任何序列都可以表示成单位样本序列移位的加权和，即

$$x[n]=\sum_{k=-\infty}^{\infty} x[k] \delta[n-k]$$

单位阶跃序列

$$u[n]=\left\{\begin{array}{ll} 1,& n \geqslant 0 \\ 0,& n<0 \end{array}\right.$$

单位阶跃序列与单位样本序列间具有如下关系

$$\begin{array}{c} \delta[n]=u[n]-u[n-1] \\ u[n]=\sum_{k=0}^{\infty} \delta[n-k] \\ u[n]=\sum_{k=-\infty}^{n} \delta[k] \end{array}$$

所以 $\delta[n]$ 是 $u[n]$ 的差分，$u[n]$ 是 $\delta[n]$ 的累加。

矩形序列

$$R_{N}[n]=\left\{\begin{array}{l} 1,0 \leqslant n \leqslant N-1 \\ 0,\quad \mathrm{其他} \end{array}\right.$$

指数序列

$$x[n]=a^{n}$$

其中 $a$ 为常数。
如果 $a$ 是实数，则序列为实指数序列，如图 $1.1-4(d)$ 和 $(e)$ 所示，当 $|a| \neq 1$ 时，序列的幅度按指数增长或衰减。
如果 $a$ 是复数，即 $a=r \mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega_{0}}$，其中 $r$ 和 $\omega_{0}$ 是实常数，则序列为复指数序列。当 $a$ 是幅度为 $1$ 的复数，即 $a=\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega_{0}}$ 时，$x[n]=\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega_{0} n}=\cos \left(\omega_{0} n\right)+\mathrm{j} \sin \left(\omega_{0} n\right)$

余弦序列（正弦序列）

$$x[n]=A \cos \left(\omega_{0} n+\phi\right)$$

其中，$A$、$\omega_{0}$ 和 $\phi$ 是常数。$A$ 为幅度，$\omega_{0}$ 为数字频率，单位是 $\mathrm{rad}$，$\phi$ 为初始相位，单位也是 $\mathrm{rad}$

为了数学推导方便，常常将余弦序列和正弦序列表示成复指数序列的加权和的形式，即

$$\begin{array}{l} A \cos \left(\omega_{0} n+\phi\right)=\frac{A}{2}\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \phi} \mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega_{0} n}+\mathrm{e}^{-\mathrm{j} \phi} \mathrm{e}^{-\mathrm{j} \omega_{0} n}\right) \\ A \sin \left(\omega_{0} n+\phi\right)=\frac{A}{2 \mathrm{j}}\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \phi} \mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega_{0} n}-\mathrm{e}^{-\mathrm{j} \phi} \mathrm{e}^{-\mathrm{j} \omega_{0} n}\right) \end{array}$$

序列的性质

周期性

如果序列满足 $x[n]=x[n+N]$，$-\infty<n<\infty$ 其中 $N$ 为整数，则 $x[n]$ 是周期序列，周期为 $N$。

• 连续时间余弦信号是周期信号，但余弦序列不一定是周期序列

余弦序列满足

$$\begin{aligned} A \cos \left(\omega_{0} n+\phi\right) & =A \cos \left(\omega_{0} n+\phi+2 \pi k\right) \\ & =A \cos \left[\omega_{0}\left(n+2 \pi k / \omega_{0}\right)+\phi\right] \end{aligned}$$

其中 $k$ 为整数。根据定义，序列的周期必须是整数。所以当 $k$ 取某个整数能使 $2 \pi k / \omega_{0}$ 是整数的情况下，该余弦序列才是周期的；而如果无论 $k$ 取何值，都不能使 $2 \pi k / \omega_{0}$ 是整数，则该余弦序列就不是周期序列。具体来说，分成三种情况：

• $2 \pi / \omega_{0}$ 是整数 $N$ 时，$k$ 取 $1$ 就能使 $2 \pi k / \omega_{0}$ 为整数，所以序列是周期的，且周期为 $2 \pi /\omega_{0}=N$
• $2 \pi / \omega_{0}$ 是有理数 $P / Q$ 时，其中 $P$ 和 $Q$ 是互素的整数，$k$ 取 $Q$ 就能使 $2 \pi k / \omega_{0}$ 为整数 $P$，所以序列也是周期的，周期为 $\left(2 \pi / \omega_{0}\right) \cdot Q=P$。
• $2 \pi / \omega_{0}$ 是无理数时，序列是非周期序列。

奇偶对称性

一个实数序列如果满足如下的对称特性则称为偶序列

$$x[n]=x[-n]$$

如果满足如下的反对称特性则称为奇序列。

$$x[n]=-x[-n]$$

任何一个实数序列都可以分解成一个偶序列 $x_{\mathrm{e}}[n]$ 和一个奇序列 $x_{\mathrm{o}}[n]$ 之和，即

$$x[n]=x_{\mathrm{e}}[n]+x_{\mathrm{o}}[n]$$

其中 $x_{\mathrm{e}}[n]$ 和 $x_{\mathrm{o}}[n]$ 可以从原序列通过以下运算得到

$$\begin{array}{l} x_{e}[n]=\frac{x[n]+x[-n]}{2} \\ x_{\mathrm{o}}[n]=\frac{x[n]-x[-n]}{2} \end{array}$$

$x_{\mathrm{e}}[n]$ 和 $x_{0}[n]$ 分别称为 $x[n]$ 的对称分量和反对称分量。

共轭对称性

一个复数序列如果满足

$$x[n]=x^{*}[-n]$$

则称为共轭对称序列。

• 共轭对称序列的实部是偶序列，虚部是奇序列。
• 共轭对称序列的幅度是偶序列，相位是奇序列。

复数序列如果满足

$$x[n]=-x^{*}[-n]$$

则称为共轭反对称序列。

• 共轭反对称序列的实部是奇序列，虚部是偶序列。

任何复数序列都可以分解成一个共轭对称序列 $x_{\mathrm{e}}[n]$ 和一个共轭反对称序列 $x_{\mathrm{o}}[n]$ 之和，即

$$x[n]=x_{\mathrm{e}}[n]+x_{\mathrm{o}}[n]$$

其中 $x_{\mathrm{e}}[n]$ 和 $x_{\mathrm{o}}[n]$ 可以从原序列通过以下运算得到

$$\begin{array}{l} x_{\mathrm{e}}[n]=\frac{x[n]+x^{*}[-n]}{2} \\ x_{\mathrm{o}}[n]=\frac{x[n]-x^{*}[-n]}{2} \end{array}$$

$x_{\mathrm{e}}[n]$ 和 $x_{\mathrm{o}}[n]$ 分别称为 $x[n]$ 的共轭对称分量和共轭反对称分量。

离散时间系统的基础概念

在数学上，离散时间系统可以定义成一种变换或算子，它把输入的离散时间信号 $x[n]$ 映射成输出的离散时间信号 $y[n]$，记作

$$y[n]=T\{x[n]\}$$

也可以用图 $1.2-1$ 所示的框图表示。
其中输入信号称为激励，输出信号称为响应。如果输入信号是单位样本序列，即 $x[n]=\delta[n]$，则相应的输出信号称为单位脉冲响应，用 $h[n]$ 表示，即

$$h[n]=\mathrm{T}\{\delta[n]\}$$

另外，我们定义系统对单位阶跃序列的响应为单位阶跃响应，用 $s[n]$ 表示，即

$$s[n]=\mathrm{T}\{u[n]\}$$

离散时间系统的分类

无记忆和有记忆系统

一个系统，如果任一时刻 $n$ 的输出（简称当前输出）都只和时刻 $n$ 的输入（简称当前输入）有关，则该系统称为无记忆系统。

线性和非线性系统

一个系统, 如果满足如下的叠加性质

$$\mathrm{T}\left\{a x_1[n]+b x_2[n]\right\}=a \mathrm{~T}\left\{x_1[n]\right\}+b \mathrm{~T}\left\{x_2[n]\right\}$$

其中 $a$ 和 $b$ 是任意常数，则该系统称为线性系统。

时不变和时变系统

一个系统，$\mathrm{T}\{x[n]\}=y[n]$，如果满足

$$\mathrm{T}\left\{x\left[n-n_0\right]\right\}=y\left[n-n_0\right]$$

其中，$n_0$ 为任意整数，即输入序列的任意移位引起输出序列相同方式的移位，则该系统称为时不变系统，又称移不变系统。

因果和非因果系统

输出变化不会发生在输入变化之前的系统称为因果系统，即当前输出样本只取决于当前及以前的输入样本，而和以后的输入样本无关。这也就意味着，如果 $n \leqslant n_0$ 时 $x_1[n]=x_2[n]$，则有 $n \leqslant n_0$ 时 $\mathrm{T}\left\{x_1[n]\right\}=\mathrm{T}\left\{x_2[n]\right\}$。

稳定和不稳定系统

对任意的有界输入都产生有界输出的系统称为稳定系统，即当 $|x[n]|<\infty, \forall n$ 时，$|\mathrm{T}\{x[n]\}|<\infty, \forall n$。一个不稳定系统可能使输出无限制增长，以至于产生溢出，所以是没有实用价值的。需要注意的是，一个不稳定的系统可能会对某些有界输入产生有界输出。

线性时不变系统

线性时不变（LTI）系统是既满足线性性质也满足时不变性质的系统。

LTI 系统有一个重要特性，就是输出 $y[n]$ 可表示成输入 $x[n]$ 与单位脉冲响应 $h[n]$ 的卷积，即

$$y[n]=\sum_{k=-\infty}^{\infty} x[k] h[n-k]=\sum_{k=-\infty}^{\infty} x[n-k] h[k]$$

因此系统的输入/输出映射关系完全由 $h[n]$ 表征。

LTI系统的性质

• 根据卷积的交换律，将输入信号与单位脉冲响应互换，输出信号不变
• 根据卷积的结合律和交换律，两个系统级联，可以交换级联顺序而使输出不变，还可将级联系统等效为一个系统
• 根据卷积的分配律，两个系统并联，可以等效为一个系统

LTI系统的分类

因果系统

LTI 系统是因果系统的充要条件是，单位脉冲响应是一个因果序列，即

$$h[n]=0, n<0$$

稳定系统

LTI 系统是稳定系统的充要条件是，单位脉冲响应是一个绝对可和的序列，即

$$\sum_{n=-\infty}^{\infty}|h[n]|<\infty$$

有限脉冲响应和无限脉冲响应系统

我们定义单位脉冲响应有限长的 LTI 系统为有限脉冲响应（FIR）系统，单位脉冲响应无限长的 LTI 系统为无限脉冲响应（IIR）系统。这两类系统在系统特性、设计和实现方法等各方面都有很大区别，所以我们通常将它们分开讨论。

常用的LTI系统

名称	方程	单位冲激响应	分类
理想延迟系统	$y[n]=x\left[n-n_{\mathrm{d}}\right]$	$h[n]=\delta\left[n-n_{\mathrm{d}}\right]$	FIR，因果，稳定
累加器系统	$y[n]=\sum_{k=\infty}^0 x[n-k]$	$h[n]=\sum_{k=\infty}^0 \delta[n-k]=u[n]$	IIR，因果，不稳定
滑动平均系统	$y[n]=\frac{1}{M_1+M_2+1_k} \sum_{k=-M_1}^{M_2} x[n-k]$	$h[n]=\frac{1}{M_1+M_2+1_k} \sum_{k=-M_1}^{M_2} \delta[n-k]= \begin{cases}\frac{1}{M_1+M_2+1}, & -M_1 \leqslant n \leqslant M_2 \\ 0, & \text { 其他 }\end{cases}$	FIR，非因果，稳定
后向差分系统	$y[n]=x[n]-x[n-1]$	$h[n]=\delta[n]-\delta[n-1]$	FIR，因果，稳定
前向差分系统	$y[n]=x[n+1]-x[n]$	$h[n]=\delta[n+1]-\delta[n]$	FIR，非因果，稳定

线性常系数差分方程

LTI系统中有一类重要的子系统，这类系统的输入 $x[n]$ 和输出 $y[n]$ 之间满足如下的 $N$ 阶线性常系数差分方程

$$\sum_{k=0}^N a_k y[n-k]=\sum_{k=0}^M b_k x[n-k]$$

其中，$M$ 和 $N$ 是有限整数。所谓常系数，是指系数里没有 $n$ 这样的变系数，所谓线性，是指输入和输出都只有一次幂，且没有相互交叉的乘积项。

• 差分方程的求和项数是有限的，而用卷积表示的输入和输出间的映射关系式可能包含无穷项求和
• 差分方程中可以包含递归项 $y[n-k], k>0$，而卷积和式中则没有。
• 不是所有的 LTI 系统都可以用差分方程表示, 比如理想选频滤波器等
• 差分方程描述的系统也不一定是 LTI 系统。

第二章 z 变换

z 变换的定义

双边

序列 $x(n)$ 的 $z$ 变换 $X(z)$ 定义为

$$X(z)=\mathscr{Z}\{x[n]\}=\sum_{n=-\infty}^{\infty} x(n) z^{-n}$$

式中 $z$ 是一个连续复变量。上式定义的 $z$ 变换称作双边 $z$ 变换

• 序列的 $z$ 变换是复变量 $z^{-1}$ 的幂级数，其系数是序列 $x(n)$ 在各 $n$ 时的值，有时也把 $X(z)$ 称为序列 $x(n)$ 的生成函数。
• $z$ 变换也并不是对于所有序列或所有 $z$ 值都是收敛的。对于序列 $x(n)$，使 $z$ 变换收敛的 $z$ 值之集合称为收敛域（ROC）

单边

单边 $z$ 变换定义为

$$X(z)=\sum_{n=0}^{\infty} x(n) z^{-n}$$

• 对于因果信号 $x(n)$，由于 $n<0$ 时 $x(n)=0$，单边和双边 $z$ 变换相等，否则不相等。
• $x(n)$ 的单边 z 变换等于 $x(n)\cdot u(n)$ 的双边 z 变换，收敛域位于最大模值极点所在圆的外边
• 单边 z 变换的幂级数展开式中不包括 z 的正幂次项
• 不是每一个 z 函数都能是一个单边 z 变换
• 若将一个 z 的有理函数写成 z 的多项式之比，若该有理函数是一个单边变换，其分子的阶次不能高于分母阶次。

收敛域

离散信号傅里叶变换的收敛条件是序列绝对可和，则 $z$ 变换收敛要求

$$\sum_{n=-\infty}^{\infty}\left|x(n) z^{-n}\right|<\infty$$

• 由于序列 $x(n)$ 乘上了实指数 $z^{-n}$，因此即使序列的傅里叶变换不满足收敛条件，但其 $z$ 变换仍可能收敛。
• 单位阶跃序列 $\varepsilon(n)$ 不满足绝对可和，因而其傅里叶变换不能直接由级数收敛求得。然而当 $|z|>1$ 时，$z^{-n} \varepsilon(n)$ 满足绝对可和，因而 $\varepsilon(n)$ 的 $z$ 变换收敛，其收敛域为 $1<|z|<\infty$
• 某个 $z$ 点是否在收敛域内只与模 $|z|$ 有关。
• 如果某个 $z$ 在收敛域内，则位于同一个圆（以原点为中心，以 $|z|$ 为半径）上的所有 $z$ 也都在收敛域内。
• 如果 $x(n)$ 的 $z$ 变换收敛域包括单位圆，则 $x(n)$ 的傅里叶变换也收敛。
• 收敛域内不包括任何极点。这是由于 $X(z)$ 在极点处，其值无穷大，$z$ 变换不收敛。故收敛域不包括极点，而常常以 $X(z)$ 的极点作为收敛域的边界。
• 如果 $x(n)$ 是有限长序列，那么收敛域是整个 $z$ 平面，可能除去原点（$z=0$）和/或无穷远（$z=\infty$）。
• 如果 $x(n)$ 的 $z$ 变换有理，则其收敛域被极点所界定，或延伸到无穷远。
• 如果 $x(n)$ 的 $z$ 变换有理，并且 $x(n)$ 是右边序列，那么收敛域位于最外层极点的外边。如果 $x(n)$ 是因果序列，那么收敛域包括无穷远处。
• 如果 $x(n)$ 的 $z$ 变换有理，并且 $x(n)$ 是左边序列，那么收敛域位于最里层非零极点的里边。如果 $x(n)$ 是反因果序列，那么收敛域包括原点。

收敛模式总结

• 因果序列的 ROC 总是包含 $z=+\infty$
• 绝对可和序列的 ROC 总是包含 $|z|=1$

零点和极点

当 $\mathrm{z}$ 变换收敛并且可以表示成一个简单的有理函数，即

$$X(z)=\frac{\sum_{k=0}^{M} b_{k} z^{-k}}{\sum_{k=0}^{N} a_{k} z^{-k}}=\frac{P(z)}{Q(z)}$$

• 使 $X(z)=0$ 的 $z$，称为 $X(z)$ 的零点
• 使 $X(z)$ 无穷大的 $z$，称为 $X(z)$ 的极点。
• 上式中，$P(z)$ 有 $M$ 个根是 $X(z)$ 的零点，$Q(z)$ 有 $N$ 个根是 $X(z)$ 的极点。这些根位于 $z$ 平面的非零区域（包括 $\infty$，不包括原点）。
• 除此之外，若 $M>N$，则还有 $M-N$ 阶极点在 $z=0$；若 $M<N$，则还有 $N-M$ 阶零点在 $z=0$。
• 也就是说，$z$ 变换在 $z$ 平面内总是具有相同数目的零点和极点。
• 无论 $z$ 变换以何种形式给出，只要分子和分母的根的个数不相等，就需将 $z =0$ 和 $z=+\infty$ 分别带入检测遗漏的零点或极点。
• 对于系数全部为实数的 $z$ 变换，其复数零点或极点一定是以两两互为共轭的形式成对出现的，而实数零点和极点则可以单独存在。
• 在 $z$ 变换的收敛域图上，常常用“o”标出零点，用“×”标出极点。
• 非全零的有限长因果序列 $x[n]$ 的 $z$ 变换在 $z=0$ 处一定是极点
• 收敛域里可以有零点，不能有极点

有理分式求零极点的步骤

1. 上下乘以 $z$ 的幂次使所有 $z$ 的幂次为非负，设此时分子最高次是 $A$，分母最高次是 $B$
2. 求出分子的 $A$ 个多项式零点，注意 $(z^n-1)$ 的零点是 $\omega_{n}^k, \quad k=0,1,2,\cdots, n-1$
3. 同理求出分母的 $B$ 个多项式零点
4. 若 $A<B$，则还有 $B-A$ 个零点在 $z=+\infty$
5. 若 $A>B$，则还有 $A-B$ 个极点在 $z=+\infty$
6. 比较所有零极点，若有相同，则抵消
7. 写出最终答案，须标明阶数，画图也要标明阶数

常见序列的 z 变换及收敛域

单位取样序列

$$\mathscr{Z}[\delta(n)]=\sum_{n=0}^{\infty} \delta(n) z^{n}=1, \quad 0 \leqslant|z| \leqslant \infty$$

单位阶跃序列

$$\begin{array}{c} \mathscr{Z}[\varepsilon(n)]=\frac{z}{z-1}=\frac{1}{1-z^{-1}}, \quad|z|>1 \\ \mathscr{Z}[-\varepsilon(-n-1)]=1-\frac{1}{1-z}=\frac{z}{z-1}=\frac{1}{1-z^{-1}}, \quad|z|<1 \end{array}$$

斜变序列

$$\begin{array}{l} \mathscr{Z}[n \varepsilon(n)]=\sum_{n=0}^{\infty} n z^{-n}=\frac{z}{(z-1)^{2}}, \quad|z|>1 \\ \mathscr{Z}\left[n^{2} \varepsilon(n)\right]=\frac{z(z+1)}{(z-1)^{3}}, \quad|z|>1 \\ \mathscr{Z}\left[n^{3} \varepsilon(n)\right]=\frac{z\left(z^{2}+4 z+1\right)}{(z-1)^{4}}, \quad|z|>1 \end{array}$$ $$\mathscr{Z}[-n \varepsilon(-n-1)]=\frac{z}{(z-1)^{2}}, \quad|z|<1$$

单边指数序列

$$\begin{array}{c} \mathscr{Z}\left[a^{n} \varepsilon(n)\right]=\frac{1}{1-a z^{-1}}=\frac{z}{z-a}, \quad|z|>|a| \\ \mathscr{Z}\left[-a^{n} \varepsilon(-n-1)\right]=\frac{1}{1-a z^{-1}}=\frac{z}{z-a}, \quad|z|<|a| \\ \mathscr{Z}\left[n a^{n} \varepsilon(n)\right]=\frac{a z^{-1}}{\left(1-a z^{-1}\right)^{2}}=\frac{a z}{(z-a)^{2}}, \quad|z|>|a| \\ \mathscr{Z}\left[n^{2} a^{n} \varepsilon(n)\right]=\frac{a z(z+a)}{(z-a)^{3}}, \quad|z|>|a| \end{array}$$

双边指数序列

$$\begin{aligned} \mathscr{Z}\left[b^{|n|}\right] & =\frac{1}{1-b z^{-1}}-\frac{1}{1-b^{-1} z^{-1}} \\ & =\frac{b^{2}-1}{b} \frac{z}{(z-b)\left(z-b^{-1}\right)}, \quad|b|<|z|<\left|b^{-1}\right| \end{aligned}$$

正弦余弦序列

$$\begin{aligned} \mathscr{Z}\left[\cos \left(\omega_{0} n\right) \cdot \varepsilon(n)\right] & =\frac{1}{2}\left[\frac{z}{z-\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega_{0}}}+\frac{z}{z-\mathrm{e}^{-\mathrm{j} \omega_{0}}}\right] \\ & =\frac{z\left(z-\cos \omega_{0}\right)}{z^{2}-2 z \cos \omega_{0}+1}, \quad|z|>1 \end{aligned}$$ $$\begin{align} \mathscr{Z}\left[\sin \left(\omega_{0} n\right) \cdot \varepsilon(n)\right] & = \frac{1}{2 \mathrm{j}}\left[\frac{z}{z-\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega_{0}}}-\frac{z}{z-\mathrm{e}^{-\mathrm{j} \omega_{0}}}\right] \\ & = \frac{z \sin \omega_{0}}{z^{2}-2 z \cos \omega_{0}+1}, \quad|z|>1 \\ \end{align}$$ $$\begin{array}{c} \mathscr{Z}\left[\cos \left(\omega_{0} n\right) \cdot \varepsilon(-n-1)\right]=\frac{-z\left(z-\cos \omega_{0}\right)}{z^{2}-2 z \cos \omega_{0}+1}, \quad|z|<1 \\ \mathscr{Z}\left[\sin \left(\omega_{0} n\right) \cdot \varepsilon(-n-1)\right]=-\frac{z \sin \omega_{0}}{z^{2}-2 z \cos \omega_{0}+1}, \quad|z|<1 \\ \end{array}$$ $$\begin{align} \mathscr{Z}\left[\beta^{n} \cos \left(\omega_{0} n\right) \cdot \varepsilon(n)\right] & = \frac{1-\beta z^{-1} \cos \omega_{0}}{1-2 \beta z^{-1} \cos \omega_{0}+\beta^{2} z^{-2}} \\ & = \frac{z\left(z-\beta \cos \omega_{0}\right)}{z^{2}-2 \beta z \cos \omega_{0}+\beta^{2}}, \quad|z|>|\beta| \\ \end{align}$$ $$\begin{align} \mathscr{Z}\left[\beta^{n} \sin \left(\omega_{0} n\right) \cdot \varepsilon(n)\right] & = \frac{\beta z^{-1} \sin \omega_{0}}{1-2 \beta z^{-1} \cos \omega_{0}+\beta^{2} z^{-2}} \\ & = \frac{\beta z \sin \omega_{0}}{z^{2}-2 \beta z \cos \omega_{0}+\beta^{2}}, \quad|z|>|\beta| \\ \end{align}$$

z 反变换

从给定的 $z$ 变换闭式 $X(z)$ 及收敛域还原出原序列 $x[n]$ 的过程称为 $z$ 反变换，表示为

$$x[n]=\mathscr{Z}^{-1}\{X(z)\}$$

求 $x$ 反变换的方法通常有四种：围线积分法（留数法）、观察法、部分分式展开法和幂级数展开法。对于在离散时间 $LTI$ 系统分析中遇到的典型序列和 $x$ 变换，后面三种方法已经足够了。

幂级数展开法

从 $z$ 变换的定义中可以看出，$X(z)$ 定义为 $z^{-1}$ 的幂级数

$$X(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} x(n) z^{-n}$$

因此，只要在给定的收敛域内把 $X(z)$ 展成 $z^{-1}$ 的幂级数，则序列值 $x(n)$ 就是 $z^{-n}$ 项的系数。

部分分式展开法

在一般情况下，序列的 $z$ 变换可以表示为 $z$ 的有理分式，即

$$X(z)=\frac{N(z)}{M(z)}=\frac{b_{r} z^{r}+b_{r-1} z^{r-1}+\cdots+b_{1} z+b_{0}}{a_{k} z^{k}+a_{k-1} z^{k-1}+\cdots+a_{1} z+a_{0}}$$

求 $z$ 反变换的部分分式展开法，类似于拉氏反变换中的部分分式展开法，将 $X(z)$ 展开成一些简单的部分分式之和，然后分别求出各个分式的 $z$ 反变换，把各反变换相加，便得到 $x(n)$。

常用z反变换

z 变换的性质（双边性质）

线性性质

$$a x[n]+b y[n] \stackrel{\mathscr{Z}}{\longrightarrow} a X(z)+b Y(z),\quad \mathrm{ROC 包含} R_{x} \cap R_{y}$$

其中 $a,b$ 为任意常数。ROC 一般为两个序列的 ROC 的交集。如果线性组合使得引入的某些零点抵消了极点，则 ROC 可能扩大。这一性质在 $\mathrm{z}$ 反变换中已经用过。

移位性质

$$x\left[n-n_{0}\right] \stackrel{\mathscr{Z}}{\longrightarrow} z^{-n_{0}} X(z),\quad \mathrm{ROC}=R_{x}$$

其中 $n_{0}$ 为任意整数。其 ROC 同原序列的 ROC，除了可能加上或去除 $z=0$ 或 $z=\infty$ 以外。例如，$\mathscr{Z}{\delta[n]}=1$，在 $z$ 平面处处收敛，而 $\mathscr{Z}{\delta[n-1]}=z^{-1}$，在 $z=0$ 处不收敛。

乘以指数序列（z域尺度变换性质）

$$a^{n} x[n] \stackrel{\mathscr{Z}}{\longrightarrow} X\left(\frac{z}{a}\right),\quad \mathrm{ROC}=|a| R_{x}$$

其中 $a$ 为任意常数。

线性加权（$z$ 域微分性质）

$$n x[n] \stackrel{\mathscr{Z}}{\longrightarrow}-z \cdot \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} z} X(z),\quad \mathrm{ROC}=R_{x}$$

取共轭

$$x^{*}[n] \stackrel{\mathscr{Z}}{\longrightarrow} X^{*}\left(z^{*}\right),\quad \mathrm{ROC}=R_{x}$$

• 实序列的 $\mathrm{z}$ 变换的复数零点一定以两两互为共轭的形式成对出现
• 对于实数零点，其共轭就等于其本身，所以实数零点可以单独存在
• 复数极点也以共轭对的形式成对出现

反转

$$x[-n] \stackrel{\mathscr{Z}}{\longrightarrow} X\left(\frac{1}{z}\right),\quad \mathrm{ROC}=\frac{1}{R_{x}}$$

由于自变量取倒数，所以零点和极点取倒数，ROC 的边界也取倒数。需要注意的是，序列反转后如果类型改变了，则收敛域的特点也应相应地改变。

卷积性质

$$x[n] * y[n] \stackrel{\mathscr{P}}{\longrightarrow} X(z) Y(z),\quad \mathrm{ROC 包含} R_{x} \cap R_{y}$$

ROC 是两个 ROC 的交集。如果一个 $\mathrm{z}$ 变换的极点和另一个 $\mathrm{z}$ 变换的零点互相抵消，则 ROC 可能扩大。

初值定理

如果 $x[n]$ 是因果序列，那么 $x[0]=\lim _{z \rightarrow \infty} X(z)$。

终值定理

如果 $x[n]$ 是因果序列，且 $X(z)$ 的极点处于单位圆 $|z|=1$ 以内（单位圆上最多在 $z=1$ 处有一阶极点），那么

$$\lim _{n \rightarrow \infty} x[n]=\lim _{z \rightarrow 1}[(z-1) X(z)]$$

总结

$$\begin{array}{|c|c|c|} \hline \text { 性质 } & \text { 时域 } & \text { z域 } & \text { 收敛域 } \\ \hline \text { z变换 } & x(n) & \sum_{n=-\infty}^{\infty} x(n) z^{-n} \\ \hline \text { z反变换 } & & X(z) \\ \hline \text { 线性 } & a x_{1}(n)+b x_{2}(n) & a X_{1}(z)+b X_{2}(z) & \max \left\{R_{x_{11}}, R_{x_{21}}\right\}<|z|<\min \left\{R_{x_{12}}, R_{x_{22}}\right\} \\ \hline \text { 共轭 } & x^{*}(n) & X^{*}\left(z^{*}\right) & R_{x_{1}}<|z|<R_{x_{2}} \\ \hline \text { 时域反向 } & x(-n) & X\left(z^{-1}\right) & R_{x_{1}}<\left|z^{-1}\right|<R_{x_{2}} \\ \hline \text { 指数 } & a^{n} x(n) & X\left(a^{-1} z\right) & |a| R_{x_{1}}<|z|<|a| R_{x_{2}} \\ \hline \text { z域反向 } & (-1)^{n} x(n) & X(-z) & R_{x_{1}}<|z|<R_{x_{2}} \\ \hline \text { } & n x(n) & -z \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} z} X(z) & R_{x_{1}}<|z|<R_{x_{2}} \\ \hline \text { 时移 } & x\left(n-n_{0}\right) & z^{-n_{0}} X(z) & R_{x_{1}}<|z|<R_{x_{2}} \\ \hline \text { 频移 } & \mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega_{0} n} x(n) & X\left(\mathrm{e}^{-\mathrm{j} \omega_{0}} \cdot z\right) & R_{x_{1}}<|z|<R_{x_{2}} \\ \hline \text { z域尺度变换 } & z_{0}^{n} x(n) & X\left(\frac{z}{z_{0}}\right) & R_{x_{1}}<\left|\frac{z}{z_{0}}\right|<R_{x_{2}} \\ \hline \text { 时域实部 } & \operatorname{Re}[x(n)] & \frac{1}{2}\left[X(z)+X^{*}\left(z^{*}\right)\right] & R_{x_{1}}<|z|<R_{x_{2}} \\ \hline \text { 时域虚部 } & \operatorname{Im}[x(n)] & \frac{j}{2}\left[X(z)-X^{*}\left(z^{*}\right)\right] & R_{x_{1}}<|z|<R_{x_{2}} \\ \hline \text { 时域求和 } & \sum_{k=0}^{n} x(k) & \frac{z}{z-1} X(z) & \\ \hline \text { 时域卷积 } & x_{1}(n) * x_{2}(n) & X_{1}(z) \cdot X_{2}(z) & \max \left\{R_{x_{11}}, R_{x_{21}}\right\}<|z|<\min \left\{R_{x_{12}}, R_{x_{22}}\right\} \\ \hline \text { 时域相乘 } & x_{1}(n) \cdot x_{2}(n) & \frac{1}{2 \pi \mathrm{j}}{ }_{C} \oint X_{1}(v) X_{2}\left(\frac{z}{v}\right) v^{-1} \mathrm{~d} v & \\ \hline \end{array}$$

• 初值定理：若 $x(n)$ 为因果序列 $$x(0)=\lim _{z \rightarrow \infty} X(z)$$
• 初值定理：若 $x(n)$ 为非因果序列 $$x(0)=\lim _{z \rightarrow 0} X(z)$$
• 终值定理：若 $x(n)$ 为因果序列 $$x(\infty)=\lim _{z \rightarrow 1}[(z-1) X(z)]$$
• 帕斯瓦尔定理： $$\sum_{n=-\infty}^{\infty} x_{1}(n) x_{2}^{*}(n)=\frac{1}{2 \pi \mathrm{j}} \oint_{C} X_{1}(z) X_{2}^{*}\left(\frac{1}{z^{*}}\right) z^{-1} \mathrm{~d} z$$

第三章 傅里叶变换和离散傅里叶级数（DFS）

我们称离散时间信号的傅里叶变换为离散时间傅里叶变换（DTFT），简称傅里叶变换。

定义

很多序列都能用 $\left\{\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega n}\right\}$ 作为基函数进行正交展开，表示成如下的傅里叶积分形式

$$x[n]=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\pi}^{\pi} X\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right) \mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega n} \mathrm{~d} \omega$$

上式称为傅里叶反变换，它将序列 $x[n]$ 表示成频率在 $-\pi$ 和 $\pi$ 之间的复指数序列的加权求积分。实际上积分范围选任何 $2 \pi$ 间隔都是可以的。

$$X\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n] \mathrm{e}^{-\mathrm{j} \omega n}$$

上式是权重 $X\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right)$ 的计算公式，称为傅里叶正变换。

• 傅里叶正变换和反变换又分别记作 $$\begin{array}{c} X\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right)=\mathscr{F}\{x[n]\} \\ x[n]=\mathscr{F}^{-1}\left\{X\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right)\right\} \end{array}$$

幅度谱和相位谱

我们将 $X\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right)$ 称为离散时间信号的傅里叶频谱，或简单地称为频谱。一般来说，$X\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right)$ 是 $\omega$ 的复值函数，可以表示成

$$X\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right)=X_{\mathrm{R}}\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right)+\mathrm{j} X_{\mathrm{I}}\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right)=\left|X\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right)\right| \mathrm{e}^{\mathrm{j} \sphericalangle X\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right)}$$

其中，$X_{\mathrm{R}}\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right)$ 和 $X_{\mathrm{I}}\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right)$ 分别是 $X\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right)$ 的实部和虚部。$\left|X\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right)\right|$ 和 $\sphericalangle X\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right)$ 分别称为幅度谱和相位谱或幅度和相位。相位 $\sphericalangle X\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right)$ 不是唯一的，因为对任意 $\omega$，都可以加 $2 \pi$ 的任意整数倍到 $\sphericalangle X\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right)$ 上，而不会影响 $X\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right)$ 的值，即

$$\left|X\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right)\right| \mathrm{e}^{\mathrm{j}\left[\sphericalangle X\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right)+2 \pi k\right]}=\left|X\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right)\right| \mathrm{e}^{\mathrm{j} \sphericalangle X\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right)}$$

其中 $k$ 是整数。当 $\sphericalangle X\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right)$ 的取值仅限在 $(-\pi$，$\pi]$ 时，称作主值相位，记作 $\operatorname{ARG}\left[X\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right)\right]$ 而把在 $\omega \in[0,\pi)$ 内取值连续的相位函数称作连续相位，记作 $\arg \left[X\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right)\right]$。
作为复指数序列的权重，当 $X\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right)$ 是复数函数时，幅度 $\left|X\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right)\right|$ 的作用是对复指数序列幅度的加权，相位 $\sphericalangle X\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right)$ 的作用是决定复指数序列的初始相位。

周期性

使傅里叶变换无限项求和收敛就是使

$$\begin{array}{c} \sum_{n=-\infty}^{\infty}|x[n]|<\infty \\ \left|X\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right)\right|=\left|\sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n] \mathrm{e}^{-\mathrm{j} \omega n}\right| \leqslant \sum_{n=-\infty}^{\infty}\left|x[n] \mathrm{e}^{-\mathrm{j} \omega n}\right|=\sum_{n=-\infty}^{\infty}|x[n]|<\infty \end{array}$$

所以序列绝对可和是傅里叶变换存在的充分条件，但不是必要条件。

• 有些序列不是绝对可和但是平方可和，即 $$\sum_{n=-\infty}^{\infty}|x[n]|^{2}<\infty$$ 也能有傅里叶变换表示，例如， $$x[n]=\frac{\sin \left(\omega_{\mathrm{c}} n\right)}{\pi n},-\infty<n<\infty$$
• 还有一些序列，例如；$u[n]$、$\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega n}$，$-\infty<n<\infty$ 和 $x[n]=1$，$-\infty<n<\infty$ 等，既非绝对可和也非平方可和，若在频域引入冲激函数 $\delta(\omega)$，它们也可以有傅里叶变换表示。

矩形窗

长度为 $M+1$ 的矩形序列 $w_{\mathrm{R}}[n]=\left\{\begin{array}{ll}1,& 0 \leqslant n \leqslant M \ 0,& \mathrm{ 其他 }\end{array}\right.$ 称为矩形窗

$$W_{\mathrm{R}}\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right)=\frac{\sin (\omega(M+1) / 2)}{\sin (\omega / 2)} \mathrm{e}^{-\mathrm{j} \omega M / 2}$$

将其简写成

$$W_{\mathrm{R}}\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right)=W(\omega) \mathrm{e}^{-\mathrm{j} \omega M / 2}$$

其中

$$W(\omega)=\frac{\sin (\omega(M+1) / 2)}{\sin (\omega / 2)}$$

是一个实函数，取值可以大于等于或小于零，称之为广义幅度，其绝对值就是幅度谱 $\left|W_{\mathrm{R}}\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right)\right|$。

由于使 $W(\omega)=0$ 的最小频率值为 $\omega= \pm 2 \pi /(M+1)$，所以 $\left|W_{\mathrm{R}}\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right)\right|$ 即 $|W(\omega)|$ 的主瓣宽（离原点最近的两个零值点之间的距离）为 $4 \pi /(M+1)$，$M$ 越大主瓣宽越小，也就是说时域宽度和频域主瓣的宽度是反比关系。容易得出主瓣的峰值幅度是 $\left.W(\omega)\right|_{\omega=0}=M+1$。

再根据使 $W(\omega)=0$ 的第二个频率是 $\omega= \pm 4 \pi /(M+1)$，得出旁瓣宽是主瓣宽的一半，由此推断第一旁瓣的峰值幅度为 $|W(\omega)|_{\omega=3 \pi /(M+1)}=1 / \sin \left(\frac{3 \pi}{2(M+1)}\right)$，$M$ 较大时，该值约为 $\frac{2(M+1)}{3 \pi}$，所以第一旁瓣与主瓣峰值幅度比约为 $2 /(3 \pi)$，是一个与 $M$ 无关的常数。

相位是 $\omega$ 的线性函数，即是斜率为 $-M / 2$ 且经过原点的直线。但是由于在某些区间 $W(\omega)<0$，又因 $-1=\mathrm{e}^{j \pi}$，即符号的变化对应于相位差 $\pi$，所以在 $W (\omega)$ 的符号发生改变的频率处相位函数有一个 $\pi$ 的突变。

常见非周期序列的傅里叶变换

单位样值序列

$$\begin{array}{c} x(n)=\delta(n) \\ X\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right)=\operatorname{DTFT}[\delta(n)]=\sum_{n=-\infty}^{\infty} \delta(n) \mathrm{e}^{-\mathrm{j} \omega n}=1 \end{array}$$

双边矩形序列

$$\begin{array}{c} x(n)=\left\{\begin{array}{ll} 1,& |n| \leqslant N_{1} \\ 0,& |n|>N_{1} \end{array}\right. \\ X\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right)=\frac{\sin \omega\left(N_{1}+\frac{1}{2}\right)}{\sin \frac{\omega}{2}} \end{array}$$

单边矩形序列

$$\begin{array}{c} R_{M}[n]=\left\{\begin{array}{ll} 1, & 0 \leqslant n \leqslant M-1 \\ 0, & \text { 其他 } \end{array}\right.\\ X\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right)=\frac{\sin (\omega M / 2)}{\sin (\omega / 2)} \mathrm{e}^{-\mathrm{j} \omega(M-1) / 2} \end{array}$$

实指数序列

$$\begin{array}{c} x(n)=a^{n} \varepsilon(n),\quad|a|<1 \\ X\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} a^{n} \varepsilon(n) \mathrm{e}^{-\mathrm{j} \omega n}=\sum_{n=0}^{\infty}\left(a \mathrm{e}^{-\mathrm{j} \omega}\right)^{n}=\frac{1}{1-a \mathrm{e}^{-\mathrm{j} \omega}} \end{array}$$

非因果实指数序列

$$\begin{array}{l} x(n)=a^{n} \varepsilon(-n),\quad|a|>1 \\ X\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right)=\sum_{n=-\infty}^{0} a^{n} \mathrm{e}^{-\mathrm{j} \omega n}=\frac{1}{1-a^{-1} \mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}} \end{array}$$

双边指数序列

$$\begin{array}{c} x(n)=a^{|n|},\quad|a|<1 \\ X\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right)=\frac{1}{1-a \mathrm{e}^{-\mathrm{j} \omega}}+\frac{1}{1-a \mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}}-1=\frac{1-a^{2}}{1-2 a \cos \omega+a^{2}} \end{array}$$

复指数序列

$$\begin{array}{c} x[n]=e^{j\omega_0 n} \\ X\left(e^{j w}\right)=\sum_{k=-\infty}^{+\infty} 2 \pi \delta\left(\omega-\omega_{0}+2 \pi k\right) \end{array}$$

实指数子序列

$$\begin{array}{c} x[n]=a^{n} R_N[n],\quad|a|<1 \\ \begin{align} X\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right) & = \sum_{n = -\infty}^{\infty} a^{n} R_N[n] \mathrm{e}^{-\mathrm{j} \omega n} \\ & = \sum_{n = 0}^{N-1}\left(a \mathrm{e}^{-\mathrm{j} \omega}\right)^{n} \\ & = \frac{1-a^{N}\mathrm{e}^{-\mathrm{j} \omega N}}{1-a \mathrm{e}^{-\mathrm{j} \omega}}\\ \end{align} \end{array}$$

常数序列

$$\begin{array}{c} x(n)=1,\quad-\infty<n<\infty \\ D T F T[1]=2 \pi \sum_{m=-\infty}^{\infty} \delta(\omega-2 m \pi) \end{array}$$

冲激函数

$$\begin{array}{c} x(n)=\delta(n) \\ X\left(e^{j w}\right)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} x(n) e^{-j n w}=\sum_{n=-\infty}^{\infty} \delta(n) e^{-j n w}=1 \\ \end{array}$$

符号函数

$$\begin{array}{c} \operatorname{sgn}(n)=\left\{\begin{array}{c} 1, n>0 \\ 0, n=0 \\ -1, n<0 \end{array}\right. \\ S\left(e^{j w}\right)=\frac{1+e^{-j w}}{1-e^{-j w}} \\ \end{array}$$

阶跃序列

$$\begin{array}{c} x(n)=u(n) \\ X\left(e^{j w}\right)=\frac{1}{1-e^{-j w}}+\pi \sum_{m=-\infty}^{\infty} \delta(w-2 m \pi) \\ \end{array}$$

抽样信号

$$\begin{array}{c} x[n]=\frac{\sin \left(\omega_{\mathrm{c}} n\right)}{\pi n} \\ X\left(e^{j w}\right)= \left\{\begin{array}{l} 1, \quad|\omega| \leqslant \omega_{\mathrm{c}} \\ 0, \quad|\omega|>\omega_{\mathrm{c}} \end{array}\right. \end{array}$$

常见周期序列的傅里叶变换

正负交替序列

$$\begin{array}{c} x(n)=(-1)^{n} \\ 2 \pi \sum_{l=-\infty}^{\infty} \delta(\omega-\pi-2 \pi l) \\ \end{array}$$

三角函数序列

$$\begin{array}{c} x(n)=\cos \omega_{0} n \\ X\left(e^{j \omega}\right)=\sum_{l=-\infty}^{\infty} 2 \pi \cdot \frac{1}{2} \delta\left(\omega-\omega_{0}-2 \pi l\right)+\sum_{l=-\infty}^{\infty} 2 \pi \cdot \frac{1}{2} \delta\left(\omega+\omega_{0}-2 \pi l\right) \\ \end{array}$$

周期样值信号

$$\begin{array}{c} x(n)=\sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta(n-kN) \\ X\left(e^{j \omega}\right)=\sum_{k=-\infty}^{\infty} \frac{2 \pi}{N} \delta\left(\omega-k \frac{2 \pi}{N}\right) \end{array}$$

傅里叶变换与z变换的关系

对于离散信号，将复变量 $z$ 表示成极坐标形式

$$z=r \mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}$$

代入定义可得

$$X(z)=X\left(r \mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right)=D T F T\left\{x(n) r^{-n}\right\}$$

指数加权因子 $r^{-n}$ 可以随 $n$ 衰减或递增，这取决于 $r$ 大于或小于 $1$。如果 $r=1$，即 $|z|=1$ 时，序列的 $z$ 变换即等于其傅里叶变换

$$\left.X(z)\right|_{z=\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}}=\operatorname{DTFT}\{x(n)\}=X\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right)$$

• $z$ 变换是对序列 $x[n]r^{-n}$ 做傅里叶变换
• 傅里叶变换为 $z$ 变换的一个特例，即在复数 $z$ 平面中，半径为 $1$ 的圆上的 $z$ 变换。
• 在 $z$ 平面上，这个圆称为单位圆。
• 离散信号的傅里叶变换即在 $z$ 平面单位圆上的 $z$ 变换。而傅里叶变换的推广，即由 $z$ 平面的单位圆推广至整个 $z$ 平面，则成为 $z$ 变换。
• 对于有些不是绝对可加，傅里叶变换不收敛的序列，只要适当选择 $|z│=r$ 的大小，$z$ 变换就可以收敛，例如 $x[n] = u[n]$
• 存在 $z$ 变换不收敛，而傅里叶变换表示存在的情况，例如抽样信号序列

傅里叶变换的性质

线性性质

$$a x[n]+b y[n] \stackrel{\mathscr{F}}{\longrightarrow} a X\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right)+b Y\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right)$$

其中，$a$ 和 $b$ 是任意常数。

时域移位性质

$$x\left[n-n_{0}\right] \stackrel{\mathscr{F}}{\longrightarrow} \mathrm{e}^{-\mathrm{j} \omega n_{0}} X\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right)$$

其中 $n_{0}$ 是任意整数。

频域移位性质

$$\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega_{0} n} x[n] \stackrel{\mathscr{F}}{\longrightarrow} X\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j}\left(\omega-\omega_{0}\right)}\right)$$

频域微分性质

$$n x[n] \stackrel{\mathscr{F}}{\longrightarrow} \frac{\mathrm{d} X\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right)}{\mathrm{d} \omega}$$

时域卷积性质

$$x[n] * y[n] \stackrel{\mathscr{F}}{\longrightarrow} X\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right) Y\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right)$$

频域卷积（时域调制或加窗）性质

$$x[n] y[n] \stackrel{\mathscr{F}}{\longrightarrow} \frac{1}{2 \pi} \int_{-\pi}^{\pi} X\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \theta}\right) Y\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j}(\omega-\theta)}\right) \mathrm{d} \theta$$

帕斯瓦尔定理

$$\sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n] y^{*}[n]=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\pi}^{\pi} X\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right) Y^{*}\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right) \mathrm{d} \omega$$

对称性质

$$\begin{array}{l} x^{*}[\mathrm{n}] \stackrel{\mathscr{F}}{\longrightarrow} X^{*}\left(\mathrm{e}^{-\mathrm{j} \omega}\right) \\ x^{*}[-n] \stackrel{\mathscr{F}}{\longrightarrow} X^{*}\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right) \end{array}$$

再利用线性性质可以得到

$$\begin{array}{l} \operatorname{Re}\{x[n]\}=\frac{x[n]+x^{*}[n]}{2} X_{\mathrm{e}}\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right)=\frac{X\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right)+X^{*}\left(\mathrm{e}^{-\mathrm{j} \omega}\right)}{2} \\ \mathrm{j} \operatorname{Im}\{x[n]\}=\frac{x[n]-x^{*}[n]}{2} X_{\mathrm{o}}\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right)=\frac{X\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right)-X^{*}\left(\mathrm{e}^{-\mathrm{j} \omega}\right)}{2} \\ x_{\mathrm{e}}[n]=\frac{x[n]+x^{*}[-n]}{2} X_{\mathrm{R}}\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right)=\frac{X\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right)+X^{*}\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right)}{2} \\ x_{\mathrm{o}}[n]=\frac{x[n]-x^{*}[-n]}{2} X_{1}\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right)=\frac{X\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right)-X^{*}\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right)}{2} \end{array}$$

容易看出，

• $X_{e}\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right)$ 满足 $X_{\mathrm{e}}^{*}\left(\mathrm{e}^{-\mathrm{j} \omega}\right)=X_{\mathrm{e}}\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right)$，与共轭对称序列的特点相似，我们称这种函数为共轭对称函数。
• $X_{0}\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right)$ 满足 $X_{0}^{*}\left(\mathrm{e}^{-\mathrm{j} \omega}\right)=-X_{0}\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right)$，称为共轭反对称函数。

容易证明

$$X_{e}\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right)+X_{\mathrm{o}}\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right)=X\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right)$$

即任意傅里叶变换函数 $X\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right)$ 都能表示成一个共轭对称函数和一个共轭反对称函数之和，分别称为 $X\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right)$ 的共轭对称分量和共轭反对称分量。具有共轭对称或反对称特性的实函数称为偶函数或奇函数。

• 序列的实部的傅里叶变换是该序列傅里叶变换的共轭对称分量
• 任意实序列的傅里叶变换一定是共轭对称函数
• 序列的共轭对称分量的傅里叶变换是序列傅里叶变换的实部
• 任意共轭对称序列（包括偶序列）的傅里叶变换一定是实函数
• 任意纯虚序列的傅里叶变换一定是共轭反对称函数
• 任意共轭反对称序列的傅里叶变换一定是纯虚函数
• 特别注意：序列的虚部也是实数，序列的虚部的傅里叶变换一定是共轭对称函数

DFS 的定义

一个周期为 $N$ 的周期序列 $\tilde{x}[n]$，对于任一整数 $n$ 和 $r$，有 $\tilde{x}[n]=\tilde{x}[n+r N]$。由于其既非绝对可和又非平方可和，所以将其代入式 $(3.1-2)$ 求傅里叶变换不收敛。如果我们引入冲激函数 $\delta(\omega)$，仍然可以构造周期序列的傅里叶变换的函数表达式。那么如何确定由 $\delta(\omega)$ 的加权和所表示的周期序列的傅里叶变换函数呢？这就需要借助离散傅里叶级数（DFS）的计算。

如果我们将周期为 $N$ 的序列 $\tilde{x}[n]$ 分解成若干复指数序列的加权求和，则各复指数序列的周期的最小公倍数应该是 $N$。根据复指数序列的周期与频率的关系，我们得到每个复指数序列的频率 $\omega_{k}$ 与整个序列的周期 $N$ 之间满足

$$2 \pi / \omega_{k}=N / k,\quad k=1,2,\cdots,\infty$$

所以复指数序列的频率只能是

$$\omega_{k}=2 \pi k / N,\quad k=1,\cdots,\infty$$

利用数字频率以 $2 \pi$ 为周期，且频率 $2 \pi$ 等效于频率 $0$，所以独立的频率只有以下 $N$ 个

$$\omega_{k}=2 \pi k / N,\quad k=0,1,\cdots,N-1$$

引入记号

$$W_{N}=\mathrm{e}^{-\mathrm{j}(2 \pi / N)}$$

则 DFS 正变换

$$\tilde{X}[k]=\sum_{n=0}^{N-1} \tilde{x}[n] W_{N}^{k n}$$

DFS 反变换

$$\tilde{x}[n]=\frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N-1} \tilde{X}[k] W_{N}^{-k n}$$

• DFS 正变换是权重 $\tilde{X}[k]$ 的计算公式
• DFS 反变换将周期为 $N$ 的序列表示成 $N$ 个频率在 $[0,2 \pi)$ 区间等间隔分布的复指数序列的加权和。

周期信号的傅里叶变换（傅里叶变换和傅里叶级数的关系）

对于周期为 $N$，DFS 系数为 $\widetilde{X}[k]$ 的周期序列，如果我们将其傅里叶变换看作是在频率 $\omega_{k}=2 \pi k / N,k=0,1,\cdots,N-1$ 处强度正比于 $\tilde{X}[k]$ 的脉冲串，则其傅里叶变换定义成

$$\tilde{X}\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right)=\sum_{k=-\infty}^{\infty} \frac{2 \pi}{N} \tilde{X}[k] \delta\left(\omega-\frac{2 \pi k}{N}\right)$$

上式表明周期序列只包括 $N$ 个幅值非零的频率成分，这些频率在 $[0,2\pi)$ 内等间隔均匀分布。周期序列的傅里叶变换是用冲激函数的形式表示这些频率成分的，而 DFS 是将傅里叶变换频率轴归一化并将冲激串的强度表示成序列的形式。

• 周期信号的傅里叶变换也以 $2\pi$ 为周期，这与周期信号的 DFS 以 $N$ 为周期是一致的。
• 上式计算的时候注意傅里叶级数 $\widetilde{X}[k]$ 要代入完整的，不能只有一个主周期。

DFS 的性质

线性性质

$$a \tilde{x}[n]+b \tilde{y}[n] \stackrel{\mathrm{DFS}}{\longrightarrow} a \tilde{X}[k]+b \tilde{Y}[k]$$

其中，$a$ 和 $b$ 为任意常数。当 $\tilde{x}[n]$ 和 $\tilde{y}[n]$ 周期不一致时，将二者周期的最小公倍数作为周期计算 DFS，也满足线性性质。

时域移位性质

$$\tilde{x}\left[n-n_{0}\right] \stackrel{\mathrm{DFS}}{\longrightarrow} W_{N}^{k n_{0}} \tilde{X}[k]$$

其中，$n_{0}$ 是任意整数。

频域移位性质

$$W_{N}^{-n l} \tilde{x}[n] \stackrel{\mathrm{DFS}}{\longrightarrow} \tilde{X}[k-l]$$

其中，$l$ 是任意整数。

对偶性质

$$\tilde{X}[n] \stackrel{\mathrm{DFS}}{\longrightarrow} N \tilde{x}[-n]$$

注意两侧的 $n$ 是不同的自变量

对称性质

根据 DFS 的定义式可以得到以下两个变换对

$$\begin{array}{c} \tilde{x}^{*}[n] \stackrel{\mathrm{DFS}}{\longrightarrow} \tilde{X}^{*}[-k] \\ \tilde{x}^{*}[-n] \stackrel{\mathrm{DFS}}{\longrightarrow} \tilde{X}^{*}[k] \\ \end{array}$$

再利用 DFS 的线性性质，有

$$\begin{array}{l} \operatorname{Re}\{\tilde{x}[n]\}=\frac{1}{2}\left(\tilde{x}[n]+\tilde{x}^{*}[n]\right) \stackrel{\mathrm{DFS}}{\longrightarrow} \tilde{X}_{\mathrm{e}}[k]=\frac{1}{2}\left(\tilde{X}[k]+\tilde{X}^{*}[-k]\right)\\ \operatorname{jIm}\{\tilde{x}[n]\}=\frac{1}{2}\left(\tilde{x}[n]-\tilde{x}^{*}[n]\right) \stackrel{\mathrm{DFS}}{\longrightarrow} \tilde{X}_{\mathrm{o}}[k]=\frac{1}{2}\left(\tilde{X}[k]-\tilde{X}^{*}[-k]\right) \\ \tilde{x}_{\mathrm{e}}[n]=\frac{1}{2}\left(\tilde{x}[n]+\tilde{x}^{*}[-n]\right) \stackrel{\operatorname{DFS}}{\longrightarrow} \operatorname{Re}\{\tilde{X}[k]\}=\frac{1}{2}\left(\tilde{X}[k]+\tilde{X}^{*}[k]\right) \\ \tilde{x}_{\mathrm{o}}[n]=\frac{1}{2}\left(\tilde{x}[n]-\tilde{x}^{*}[-n]\right) \stackrel{\mathrm{DFS}}{\longrightarrow} \mathrm{j} \operatorname{Im}\{\tilde{X}[k]\}=\frac{1}{2}\left(\tilde{X}[k]-\tilde{X}^{*}[k]\right) \\ \end{array}$$

• 周期序列的实部的 DFS 是该周期序列 DFS 的共轭对称分量
• 任意实周期序列的 DFS 一定是共轭对称序列
• 周期序列的共轭对称分量的 DFS 是该周期序列 DFS 的实部
• 任意共轭对称周期序列的 DFS 一定是实序列

周期卷积性质

我们定义两个周期为 $N$ 的周期序列 $\tilde{x}_{1}[n]$ 和 $\tilde{x}_{2}[n]$ 的周期卷积为

$$\tilde{x}[n]=\tilde{x}_{1}[n] \circledast \tilde{x}_{2}[n]=\sum_{m=0}^{N-1} \tilde{x}_{1}[m] \tilde{x}_{2}[n-m]$$

周期卷积与非周期序列的卷积十分相似，区别是周期卷积的两个序列均为周期的，周期为 $N$，求和只在 $1$ 个周期上进行。很容易证明周期卷积的结果也是周期为 $N$ 的序列，即

$$\tilde{x}[n+r N]=\tilde{x}[n]$$

周期卷积也满足交换律，即

$$\tilde{x}_{1}[n] \circledast \tilde{x}_{2}[n]=\tilde{x}_{2}[n] \circledast \tilde{x}_{1}[n]=\sum_{m=0}^{N-1} \tilde{x}_{2}[m] \tilde{x}_{1}[n-m]$$

时域周期卷积性质：

$$\tilde{x}[n] \circledast \tilde{y}[n] \stackrel{\mathrm{DFS}}{\longrightarrow} \tilde{X}[k] \tilde{Y}[k]$$

频域周期卷积性质：

$$\tilde{x}[n] \tilde{y}[n] \stackrel{\mathrm{DFS}}{\longrightarrow} \frac{1}{N}\tilde{X}[k] \circledast \tilde{Y}[k]$$

Todo：卷积和周期卷积的关系